On tombe souvent sur un exercice de probabilités où le calcul de P(A ∩ B) semble limpide, et pourtant le résultat est faux. Le problème ne vient presque jamais de la formule elle-même, mais de ce qu’on suppose avant de l’appliquer. Calculer P(A inter B) correctement, c’est d’abord vérifier les hypothèses qui rendent la formule valide.
L’erreur que la formule seule ne corrige pas
Prenons une situation courante en copie d’élève. Un sac contient trois boules rouges et une boule verte. On tire deux boules successivement sans remise. L’élève veut calculer la probabilité d’obtenir deux boules rouges.
Il écrit P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3/4 × 3/4 = 9/16. Le calcul est propre, la formule du produit est correcte sur le plan syntaxique, mais le résultat est faux. Le tirage se fait sans remise, donc A et B ne sont pas indépendants. Après avoir tiré une boule rouge, il reste deux rouges sur trois boules. La bonne réponse passe par P(A) × P(B|A) = 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
Ce type d’erreur représente une part massive des points perdus en devoir surveillé. Le raisonnement a l’air correct, la formule est reconnue, mais l’hypothèse d’indépendance n’a jamais été vérifiée.
Check-list avant de calculer P(A ∩ B)
Avant de poser la moindre multiplication, on passe par une série de vérifications. Elles prennent moins d’une minute et évitent la majorité des erreurs.
- Définir l’univers Ω : lister toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire. Si on oublie des issues, tout le calcul est biaisé dès le départ.
- Vérifier l’équiprobabilité : les issues ont-elles toutes la même probabilité d’apparaître ? Un dé truqué, une urne avec des boules de tailles différentes, un tirage orienté, tout cela casse l’équiprobabilité. Si elle n’est pas garantie, on ne peut pas utiliser la formule « cas favorables sur cas possibles ».
- Tester l’indépendance : le résultat de A modifie-t-il la probabilité de B ? Tirage sans remise, épreuve médicale en deux temps, météo sur deux jours consécutifs, autant de cas où les événements ne sont pas indépendants.
- Identifier le bon outil : si A et B sont indépendants, on applique P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Sinon, on utilise la formule avec la probabilité conditionnelle : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).
Cette check-list n’est pas un luxe théorique. C’est ce qui sépare un calcul juste d’un calcul qui semble juste.
Formule de P(A inter B) avec la probabilité conditionnelle
La formule générale, celle qui fonctionne dans tous les cas, s’écrit P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A). Elle dit simplement que la probabilité que A et B se produisent ensemble, c’est la probabilité que A se produise, multipliée par la probabilité que B se produise sachant que A s’est déjà produit.
On peut aussi l’écrire dans l’autre sens : P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B). Les deux écritures donnent le même résultat. On choisit celle qui correspond aux données de l’énoncé.
Exemple avec un arbre pondéré
Une usine produit des pièces. Une machine fabrique une proportion donnée de pièces défectueuses. On sait que parmi les pièces défectueuses, une certaine fraction présente un défaut visible. On cherche la probabilité qu’une pièce soit à la fois défectueuse et visuellement repérable.
On pose A = « la pièce est défectueuse » et B = « le défaut est visible ». L’arbre pondéré donne directement P(A) sur la première branche, puis P(B|A) sur la seconde. P(A ∩ B) se lit en multipliant le long de la branche. C’est la méthode la plus fiable quand l’énoncé fournit des probabilités conditionnelles.
Cas particulier : événements indépendants
Si A et B sont indépendants, alors P(B|A) = P(B). La formule se simplifie en P(A ∩ B) = P(A) × P(B). C’est le cas d’un lancer de dé suivi d’un lancer de pièce, par exemple. Le résultat du dé ne change rien à la probabilité de la pièce.
On utilise cette version simplifiée uniquement quand l’indépendance est explicitement posée dans l’énoncé ou quand elle découle de la nature de l’expérience (tirages avec remise, événements portant sur des expériences distinctes).
Équiprobabilité supposée : le piège le plus fréquent
Un autre scénario classique. On tire une carte dans un jeu, puis une seconde sans remettre la première. L’élève raisonne sur le second tirage comme si toutes les cartes restantes avaient la même probabilité d’être tirées. Dans ce cas précis, c’est vrai. Les cartes restantes sont bien équiprobables.
En revanche, si on conditionne par un événement qui filtre les issues, l’équiprobabilité dans l’univers restreint doit être re-vérifiée. Quand on restreint l’univers en conditionnant par A pour calculer P(B|A), les issues restantes ne sont pas automatiquement à chances égales. Supposer le contraire conduit à des erreurs systématiques.
Prenons deux enfants dans une famille. On apprend que l’un des deux est une fille. La probabilité que les deux soient des filles n’est pas 1/2, parce que les trois cas restants (fille-garçon, garçon-fille, fille-fille) ne se réduisent pas à deux options symétriques. Ce problème classique piège même des raisonnements apparemment solides.
Lien avec la formule de Bayes et les probabilités totales
La formule P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) est aussi la brique de base de la formule de Bayes. Quand on connaît P(B|A) mais qu’on cherche P(A|B), on inverse la formule en passant par les probabilités totales.
En pratique, on calcule d’abord P(A ∩ B) pour chaque branche de l’arbre, puis on additionne celles qui mènent à B pour obtenir P(B). Le rapport P(A ∩ B) / P(B) donne alors P(A|B). Chaque étape de Bayes repose sur un calcul correct de P(A ∩ B), ce qui rend la check-list initiale encore plus utile.
- Construire l’arbre pondéré complet avec toutes les branches.
- Multiplier le long de chaque chemin pour obtenir les P(A ∩ B) partiels.
- Additionner les chemins menant à l’événement cherché pour appliquer la formule des probabilités totales.
La formule de l’intersection n’est pas un calcul isolé. Elle s’insère dans un raisonnement probabiliste plus large où chaque hypothèse de départ pèse sur le résultat final. Vérifier l’indépendance et l’équiprobabilité avant de multiplier, c’est le réflexe qui fait la différence entre un exercice réussi et un exercice où tout semblait correct sauf la réponse.
